conceptuario quartz

CONCEPTUÁRIO

1. Probabilidades2

• Lei de Laplace $P=\frac{\#CF}{\#CP}$

• Operações com probabilidades:

  • $P(\overline{A})=1-P(A)$
  • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
  • $P(A\cup \overline{B})=P(\overline{\overline{A}\cap B})$(8|4)
  • $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)$(4|2)
  • $P(A\backslash B)=P(A\cap \overline{B})$
  • $P\left[(A\cap B)\cup C\right]=P\left[(A\cup C)\cap (B\cup C)\right]$
  • $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

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  • Casos particulares

    • $A$ e $B$ são acontecimentos_incompativeis sse $P(A\cap B)=0$
    • $A$ e $B$ são acontecimentos_independentes sse $P(A\mid B)=P(A)\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

• Arranjos e Combinações:

  • Em geral: ${}^n{A}_p=\frac{n!}{(n-p)!}$
    • Exemplos de casos práticos, na forma já simplificada:
      • ${}^n{A}_3=n(n-1)(n-2)$
      • ${}^{11}{A}_3=11\times 10\times 9$
  • Em geral: ${}^n{C}_p=\frac{{}^n{A}_p}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p!)}$
    • Exemplos de casos práticos, na forma já simplificada:
      • ${}^n{C}_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}$
      • ${}^{11}{C}_3=\frac{11\times 10\times 9}{3!}$
  • ${}^n{C}_p={}^n{C}_{n-p}$
  • ${}^n{C}_p+{}^n{C}_{p+1}={}^{n+1}{C}_{p+1}$
  • $0!=1$ (convenção)

• Triângulo de Pascal:

  • soma dos elementos da linha $n$: $2^n$
  • linha $n⟶\text{nuˊmero de termos}=n+1$
  • ${}^n{C}_p={}^n{C}_{n-p}$
  • ${}^n{C}_p+{}^n{C}_{p+1}={}^{n+1}{C}_{p+1}$
  • ${}^0{C}_0=1$
  • ${}^n{C}_0=1$

• Binómio de Newton:

  • $(a+b{)}^n⟶n+1$ termos/parcelas do tipo: ${}^n{C}_p{a}^{n-p}{b}^p,p\in \{0;1;2;...;n\}$
  • De facto, $(a+b{)}^n={}^n{C}_0{a}^n{b}^0+{}^n{C}_1{a}^{n-1}{b}^1+{}^n{C}_2{a}^{n-2}{b}^2+.....+{}^n{C}_{n-1}{a}^1{b}^{n-1}+{}^n{C}_n{a}^0{b}^n$

2. Funções

• Exponenciais e Logaritmos:

  • ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$
  • ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$
  • $c{\log }_{a}b={\log }_a{b}^c$

• Limite segundo Heine:

  • $a_n\to b^{-}⟺\lim f(a_n)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)$

• Assintotas:

  • assíntota vertical: $x=a$ é uma assíntota vertical sse: $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\pm \infty$ ou se $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\pm \infty$
  • assíntota horizontal: $y=a$ é uma assíntota horizontal sse: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=a$
  • assíntota oblíqua: $y=mx+b$ é uma assíntota oblíqua sse: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }[f(x)-(mx+b)]=0$
    • $m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$
    • $b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }[f(x)-mx]$

• Derivada e TMV

  • Taxa Média de Variação

    • Taxa média de variação de uma função, $f$ , no intervalo, $[a;b]$ :
      • indica a variação média da imagem, $f(x)$ , por cada unidade de variação do objeto, $x$, quanto $x$ passa de $a$ para $b$
      • ${\text{t.m.v.}}_{[a;b]}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
    • Exemplo prático:
      • Uma bola é lançada e descreve uma trajetória de acordo a função $f$ (figura)
      • $f(x)$ representa a altura da bola, $y$ , em função da distância horizontal percorrida, $x$.
      • A taxa média de variação de $f$ no intervalo $[1;3]$ é $1,4m$
      • Ou seja: no intervalo $[1;3]$ a altura da bola aumenta, em média, $1,4$ metros por cada metro que percorre na horizontal
    • Interpretação geométrica:
      • A taxa média de variação de uma função, $f$ , no intervalo, $[a;b]$ é igual ao declive da reta secante ao gráfico de $f$ que passa nos pontos $(a;f(a))$ e $(b;f(b))$
      • $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  • Derivada

    • A taxa instantânea de variação de $f$ no ponto $a$ chama-se derivada de $f$ no ponto $a$ : $f^{\prime }(a)$
    • $f^{\prime }(a)=\underset{b\to a}{\lim }\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=m_t$
    • $f^{\prime }(a)$ é igual ao declive da reta tangente ao gráfico de f em $x=a$

  • Regras de Derivação

    • $a=$ constante; $u=f(x)$; $v=g(x)$
    • $a^{\prime }=0$
    • $x^{\prime }=1$
    • $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
    • $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }⟶(av{)}^{\prime }=a{v}^{\prime }$
    • ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
    • $(u^a{)}^{\prime }=a{u}^{a-1}{u}^{\prime }$
    • $(a^u{)}^{\prime }=a^u\ln a{u}^{\prime }$
    • $({\log }_{a}u{)}^{\prime }=\frac{1}{u\ln a}{u}^{\prime }$
    • $(\sin u{)}^{\prime }=\cos (u)u^{\prime }$
    • $(\cos u{)}^{\prime }=-\sin (u)u^{\prime }$
    • $(\tan u{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}u}{u}^{\prime }$

• Limites Notáveis

  • $\underset{w_n\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{a}{w_n}\right)}^{w_n}=e^a$
  • $\underset{w\to 0}{\lim }\frac{e^w-1}{w}=1$
  • $\underset{w\to +\infty }{\lim }\frac{\ln w}{w}=0$
  • $\underset{w\to +\infty }{\lim }\frac{e^w}{w^p}=+\infty ,p\in \mathbb{R}$
  • $\underset{w\to 0}{\lim }\frac{\sin w}{w}=1$

• Continuidade

  • $f$ é contínua em $a$ se e só se $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=f(a)$

• Função Inversa e Função Composta

  • Função Inversa, $f^{-1}$:
    • $f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$
    • Só existe função inversa de $f$, se $f$ for bijetiva.
  • Função Composta, $(f\circ g)$
    • $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
    • Só está definida quando a imagem de $g$ pertence ao domínio de $f$

Geometria

• Notação ($A$ e $B$ são pontos definidos por coordenadas no plano ou no espaço):
  • $AB$ : Reta que passa em $A$ e em $B$
  • $\overrightarrow{AB}$ : Vetor que começa em $A$ e acaba em $B$
  • $[AB]$ : Segmento de reta de extremos $A$ e $B$
  • $\overline{AB}$ : Distância entre $A$ e $B$
  • $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ : Norma de $\overrightarrow{AB}$
  • $\dot{A}B$ : Semi-reta que começa em $A$ e passa por $B$
  • $\Delta x=x_B-x_A;\Delta y=y_B-y_A;\Delta z=z_B-z_A$
• Distância: $\overline{AB}=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}=\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$
• Seja M o ponto_médio de $[AB]$ : $M=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$
• Vetores:
  • $\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)⟶=(\Delta x;\Delta y;\Delta z)$
  • Produto escalar de dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, que formam um ângulo $\alpha$
    • $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \times \cos \alpha$
    • $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Delta x_{\vec{u}}\Delta x_{\vec{v}}+\Delta y_{\vec{u}}\Delta y_{\vec{v}}+\Delta z_{\vec{u}}\Delta z_{\vec{v}}$
  • Relações entre Vetores:
    • $\vec{u}\cdot \vec{v}=0⟺\vec{u}\perp \vec{v}$
    • $\vec{u}\cdot \vec{v}>0⟺\alpha$ é agudo
    • $\vec{u}\cdot \vec{v}<0⟺\alpha$ é obtuso
    • $\vec{u}$ // $\vec{v}⟺\vec{u}=k\vec{v},k\in \mathbb{R}$
• Sejam
  • $P=(x;y;z)$ é um ponto genérico
  • $A=(x_A;y_A;z_A)$ é um ponto específico
  • $\vec{v}=(v_1;v_2;v_3)$ é um vetor específico
  • $\vec{n}=(a;b;c)$ é um vetor específico
  • Reta: (2D ou 3D)
    • Equação Vetorial : $P=A+k\vec{v},k\in \mathbb{R}$
    • Equação Vetorial : $(x;y;z)=(x_A;y_A;z_A)+k(v_1;v_2;v_3),k\in \mathbb{R}$
  • Plano (3D)
    • Equação do plano : $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0$
• 2D : Declive e inclinação (reta $s$ de declive $m_s$ e inclinação $\theta$ ; reta $r$ de declive $m_r$):
  • $s:(x;y)=(x_A;y_A)+k(\Delta x;\Delta y),k\in \mathbb{R}$
  • $m_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan \theta$
  • $s:y=m_{s}x+b$
  • $r\perp s⟺m_r=-\frac{1}{m_s}$
• $\overline{AP}=\overline{BP}$ ; $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MP}=0$ : equação do plano mediador(3D)/da reta mediatriz(2D) do segmento de reta $[AB]$ (M sendo o ponto médio de [AB])
• $\overline{AP}=\overline{BP};\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MP}=0:\text{equac¸a˜o }\{\begin{array}{l}\text{do plano mediador(3D)}\\ \text{da reta mediatriz(2D)}\end{array}\text{do segmento de reta [AB] (M sendo o ponto meˊdio de [AB])}$
• $\overline{CP}=r$ ; $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ : equação da superfície esférica(3D)/circunferência(2D) de centro C e raio r
• $\overline{CP}=r;\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0\text{ : equac¸a˜o }\{\begin{array}{l}\text{da superfıˊcie esfeˊrica(3D)}\\ \text{da circunfereˆncia(2D)}\end{array}\text{de centro C e raio r}$
• $\overrightarrow{CT}\cdot \overrightarrow{TP}=0$ : equação do plano tangente à superfície esférica(3D)/da reta tangente à circunferência(2D) de centro C, no ponto T
• $\overrightarrow{CT}\cdot \overrightarrow{TP}=0\text{ : equac¸a˜o }\{\begin{array}{l}\text{do plano tangente aˋ superfıˊcie esfeˊrica(3D)}\\ \text{da reta tangente aˋ circunfereˆncia(2D)}\end{array}\text{de centro C, no ponto T}$

Sucessões

• Uma sucessão é uma função:

  • Uma função é uma correspondência unívoca (cada elemento do primeiro conjunto (domínio) corresponde a um e um só elemento do segundo conjunto (conjunto de chegada))
    • entre objetos e imagens
    • $\text{objeto}⟶\text{imagem}$
  • $D_f\subseteq \mathbb{N}$ (f sendo uma função de domínio $D_f$)
  • $\underset{\text{(ordem)}}{n}⟶\underset{\text{(termo)}}{a_n}$

• Progressão aritmética:

  • É uma sucessão em que a diferença entre termos consecutivos é constante ($r$):$a_{n+1}-a_n=r$
  • $a_n=a_k+(n-k)r$
  • $S_{k;p}=\frac{a_k+a_p}{2}\times (p-k+1)$

• Progressão geométrica:

  • É uma sucessão em que a razão entre termos consecutivos é constante ($r$):$\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$
  • $a_n=a_k\times r^{n-k}$
  • $S_{k;p}=a_k\times {\frac{1-r}{1-r}}^{p-k+1}$

Trigonometria

• 1
  • $\sin \alpha =\frac{a}{c}$
  • $\cos \alpha =\frac{b}{c}$
  • $\tan \alpha =\frac{a}{b}$
  • mnemónica: SOH CAH TOA
• 2
  • $P=(a;o)$
  • Seja $\overline{OP}=r$
  • $\sin \theta =\frac{o}{r}⟺o=r\sin \theta$
  • $\cos \theta =\frac{a}{r}⟺a=r\cos \theta$
  • $\tan \theta =\frac{o}{a}$
  • Logo, $P=(r\cos \theta ;r\sin \theta )$
  • mnemónica: SOR CAR TOA
• 3
  • $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
  • ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\text{(1)}$
  • $\text{dividindo (1) por }{\cos }^2\alpha ⟶{\tan }^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$
  • $\text{dividindo (1) por }{\sin }^2\alpha ⟶1+\frac{1}{{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$
• 4
  • $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$
  • $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
  • $\sin (2a)=2\sin a\cos a$
  • $\cos (2a)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$
• 5
  • $\cos a=\cos b⟺a=b+2k\pi \vee a=-b+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
  • $\sin a=\sin b⟺a=b+2k\pi \vee a=\pi -b+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
  • Casos particulares ($k\in \mathbb{Z}$)
    • $\cos a=0⟺a=\frac{\pi }{2}+k\pi$
    • $\cos a=1⟺a=2k\pi$
    • $\cos a=-1⟺a=-\pi +2k\pi$
    • $\sin a=0⟺a=k\pi$
    • $\sin a=1⟺a=\frac{\pi }{2}+2k\pi$
    • $\sin a=-1⟺a=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$